Clé du livre "Des Outils pour la GPI"de JL Brissard et M Polizzi aux éditions AFNOR Gestion 1990.

Clé : "Matrices"


  1. Objectif
  2. Domaines et contraintes d'utilisation
  3. Notations et représentation
  4. Opérations courantes
  5. Exemples d'utilisation de matrices

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Objectif

La notation symbolique des matrices, en permettant de réduire l'écriture de problèmes complexes, facilite le raisonnement.
Ainsi, le produit de matrices :

[Y] = [A] [X]

peut-il représenter l'équation :

y = a . x

ou l'ensemble d'équations :

y1 = a1 . x1
y2 = a2 . x2
y3 = a3 . x3
…………………
yn = an . xn

De plus, si l'on dispose d'un moyen de calcul informatisé, la notation matricielle simplifie la saisie et standardise le calcul.

Domaines et contraintes d'utilisation

Comme toutes équations linéaires, c'est-à-dire dont le résultat s'exprime de façon proportionnel aux données, peut s'écrire sous forme matricielle, les domaines d'applications sont très étendus.
Dans ce chapitre, nous aborderons plus particulièrement l'utilisation que l'on peut en faire avec les outils décris dans ce livre.

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Notations et représentation

La matrice "A" peut être notée symboliquement [A] ou MA . On la représente sous forme d'un tableau à deux entrées.

[A] =
[ a b ]
c d

Tout au long de ce chapitre, nous prendrons comme exemple de base le tableau des temps unitaires (Tu) relatif à l'usinage de deux pièces passant sur quatre machines :

Tu en min Pe T.CN Fr. CN Rectifieuse
Support
Arbre
5
8
3
12
2
3
5
7

Ces valeurs seront représentées sous la forme suivante :

[Tu] =
[ 5  3  2 5 ]
8 12 3 7

Ce qui donne la matrice notée symboliquement [Tu] (ou MTU).

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Opérations courantes

a- Produit scalaire
Pour multiplier une matrice [B] par un nombre d, il suffit de multiplier tous les termes de la matrice par ce nombre :

[B] = d X
[ a b ] = [ da db ]
c d dc dd

Continuons l'exemple précédent, pour avoir la matrice des temps de la série notée [T], il faut multiplier la matrice [Tu] par le nombre de pièces du lot (N), soit avec N=300 :

[T] = N X [Tu] = 300
[ 5 3 2 5 ] =[ 1500  900  600 1500 ]
8 12 3 7 2400 3600 900 2100

Cette matrice donne les temps en minutes, pour les transformer en heures il suffit de la multiplier par 1/60 et nous obtenons [Th]:

[Th] = 1/60 X [T] = 1/60 X
[ 1500  900  600 1500 ] = [ 25 15 10 25 ]
2400 3600 900 2100 40 60 15 35

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b- Somme matricielle¶

Pour additionner deux matrices, il faut qu'elles aient même format (ou dimensions) c'est-à-dire le même nombre de lignes et de colonnes. Dans ce cas il suffit d'additionner les termes deux à deux.

[ a b ] + [ u v ] = [ a+u b+v ]
c d w z c+w d+z

Nous avons déjà obtenu la matrice des temps de réalisation [Th], en additionnant à celle-ci la matrice des temps de préparation [Tp] nous obtiendrons la matrice des temps pour la série [S] (en heures) :

[S] = [Th] + [Tp] =
[ 25 15 10 25 ] = [ 1 2 1 3 ] = [ 26 17 11 38 ]
40 60 15 35 1 3 2 2 41 63 17 37

La matrice [Tp] a été obtenue à partir du tableau des temps de préparation suivant :

Tu en min Pe T.CN Fr. CN Rectifieuse
Support
Arbre
1
1
2
3
1
2
3
2

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c- Produit matriciel¶

Pour multiplier deux matrices il faut que le nombre de colonnes de la première corresponde au nombre de lignes de la deuxième et, de même, que le nombre de lignes de la première soit le même que le nombre de colonnes de la deuxième.
On obtient un élément de la ligne i et de la colonne j de la matrice résultat, en ajoutant les produits deux à deux, des éléments de la ligne i de la première matrice par les éléments de la colonne j de la deuxième matrice.

[
a b
c d
e f
] [ x y z ] = [
ax + bu ay + bv az + bw
cx + du cy + dv cz + dw
ex + fu ey + fv ez + fw
]
 
u v w

Ainsi la première ligne (a,b) par la première colonne (x,y) nous donne l'élément de la première ligne, première colonne de la matrice résultat soit a multiplier par x, plus b multiplier par u (ax+bu).
Exemple : Pour calculer le coût global de chaque série de pièces ([C]), il faut multiplier, pour chaque machine, le temps passé ([S]) par le taux horaire ([H]).
Si les taux horaire pondérés étant respectivement 150, 200, 180 et 250 F/h pour le perçage, le tournage, le fraisage et la rectification nous aurons :

[C] = [S].[H] =
[ 26 41 11 28 ] [ 150 ] = [ 16280 ]
200
41 63 17 37 180 31060
250

16280 est le résultat de (26 X 150) + (17 X 200) + (11 X 180) + (28 X 250).

Attention, le produit matriciel n'est pas commutatif :

[A][B] # [B][A]

Avant d'aborder les exemples, nous pouvons remarquer la puissance de la notation symbolique des matrices puisque l'ensemble des opérations décrites ci-dessus peut se ramener à :

[C] = ( 1/60 X 300 X [Tu] + [Tp] ) [H]

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Exemples d'utilisation de matrices

a- Outil Décision

Dans le cadre de l'utilisation d'un tableau de décision (exemple 1 page 64) le total pour chaque solution s'obtennait en faisant la somme des produits de chaque note par son coefficient :

  C1 C2 C3 C4 C5   Total
S1 6 8 4 8 6   50
S2 10 6 4 6 6   54
S3 8 8 10 6 8   64
k 2 1 1 1 3    

Il est possible de noter ceci sous forme matricielle :

[T]=[n][k]

avec :

[T] =
[ 6 8 4 6 8 ] [2 1 1 1 3] = [ 50 ]
10 6 4 6 6 54
8 8 10 6 8 64

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b- Outil PERT

Dans le chapitre "PERT" nous avons vu que : Tpert=(Topt + 4 X Tprob + Tpes) /6, il est simple de transformer cette notation sous forme matricielle :

[Tpert] =
[Top Tprob Tpes]   [ 1/6 ]
4/6
1/6

Toujours dans ce chapitre, nous avons vu que ces mêmes données permettaient de faire un calcul d'erreur en calculant l'écart type :

s = ( Tpes - Topt ) / 6

ce qui nous donne une forme plus général :

[Tpert s] =
[Top Tprob Tpes]   [ 1/6 - 1/6 ]
4/6  0
1/6 1/6

Mais ces données sont présentes pour chaque tâche. Ainsi nous avons pour l'exemple 1 de la page 137 :

Repère
Tâche
Durée
Optimiste
Durée
Probable
Durée
Pessimiste
A
B
C
D
E
1
5
6
1
7
2
6
7
1
9
3
10
11
2
13

La forme générale est donc :

[PERT] = [Temps] [Coef]

et la forme développée, pour notre exemple, sera notée :

[ A
B
C
D
E
] = [ 1 2 3 ] [     ]= [ 2 0,33 ]
5 6 10 1/6 - 1/6 6,5 0,83
6 7 11 4/6 0 7,5 0,83
1 1 2 1/6 1/6 1,1 0,16
7 9 13     9,3 0,66

c- Outil calcul des besoins

Dans l'outil calcul des besoins nous avons vu, à l'exemple 4, que la charge des ressources à l'atelier pouvait s'exprimer sous la forme symbolique suivante (voir page 203) :

[tout niveau] = [niveau 0] [niveau 1]
[BB] = [PDP] [tout niveau]
[charge] = [BB] [TPS]
soit :

[charge] = [PDP] [niveau 0] [niveau 1] [TPS]
Voici les résultats numériques, présentés sous forme de tableau, obtenu au terme de l'exemple :

  TP TSA FV AL PE TAIL
JAN 2 500 45 900 6 750 19 550 4 100 42 750
FEV 2 000 36 600 5 600 15 300 3 400 34 000
MAR 4 200 73 500 10 450 31 450 6 300 67 250

La charge est exprimée en minutes. Nous allons poursuivre le calcul afin de découvrir le Goulet (voir page 223). Pour cela, il suffit d'exprimer le taux d'occupation de chaque ressource :

[OCCUPATION] = [Charge] [Capacité]

Afin de déterminer la capacité de chaque ressource, voici tout d'abord, le nombre de machines disponibles par ressource :

Ressource TP TSA FV AL PE TAIL
Nbre Mach. 1 5 1 3 1 5

Sachant que le temps maximum de production est de plus de 2 300 minutes par semaine et ce, pour n'importe qu 'elle machine, nous pouvons en déduire les éléments de la matrice [Capacité] pour un mois, soit 4 semaines :

  [ TP TSA FV AL PE TAIL ]
TP 1/(2 300 X4) 0 0 0 0 0
TSA 0 1/(2 300)X4X5) 0 0 0 0
FV 0 0 1/(2 300 X4) 0 0 0
AL 0 0 0 1/(2 300)X4X3) 0 0
PE 0 0 0 0 1/(2 300 X4) 0
TAIL 0 0 0 0 0 1/(2 300)X4X5)

On peut remarquer que la valeur indiquée est, pour TP par exemple, 1/(2 300 X4) et non (2 300 X4), car le but est d'obtenir le taux d'occupation de TP. Cette matrice permet d'exprimer la "base de départ", soit la charge des machines, la "base d'arrivée", soit l'occupation des machines. Il s'agit donc d'une matrice de changement de base, carrée (même nombre de lignes que de colonnes) et diagonale.
Effectuons maintenant le produit matriciel :

[OCCUPATION] = [Charge] [Capacité]

Nous obtenons ainsi, pour les éléments de la matrice [OCCUPATION], les valeurs suivantes :

  [ TP TSA FV AL PE TAIL ]
JAN 0,27 1,00 0,73 0,71 0,45 0,93
FEV 0,22 0,80 0,61 0,55 0,37 0,74
MAR 0,46 0,60 1,14 1,14 0,68 1,46

La ressource la plus chargée est toujours le TSA, c'est donc le goulet. Janvier est parfaitement chargé, février offre encore 20% de disponible, en revanche le mois de mars est surchargé et une action sera certainement nécessaire.

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SH & MP le 13/01/00